03. 행렬

행렬

행렬은 여러 데이터를 행 X 열 형태로 이루어진 직사각형 안에 배열한 형태입니다.

3-1.행렬 (위키백과)

행은 데이터가 가로로 배열되어있는 형태이고

열은 데이터가 세로로 배열되어있는 형태입니다.

 

행렬의 연산

행렬의 덧셈과 뺄셈을 연산할 땐 벡터의 덧셈과 뺄셈처럼 서로 대응하는 성분끼리 연산을 진행합니다.

 

3-2.행렬의 덧셈

 

3-3.행렬의 뺄셈

 

행렬과 스칼라값을 곱할 땐 벡터와 스칼라의 곱인 스칼라배를 적용할 때와 같은 원리로 각 성분에 스칼라 값을 곱하여 연산합니다.

3-4.행렬의 스칼라배

 

반면 행렬끼리의 곱셈 연산에서는 앞서 알아보았던 내적의 개념을 사용하게 됩니다.

3-5.행렬의 곱셈 (위키백과)

위 그림처럼 두 행렬를 각각 행벡터와 열벡터를 쌓은 형태로 생각하고 각각의 행벡터와 열벡터의 내적을 맞는 위치에 재배열하여 새로운 행렬을 구성하게 됩니다.

 

예를 들어 다음과 같은 식을 가정해보겠습니다.

3-6.예제

위 행렬 곱셈을 풀기 위해 왼쪽 행렬 A는 행벡터를 세로로 쌓은 형태로, 오른쪽 행렬 B는 열벡터를 가로로 쌓은 형태로 생각해보겠습니다.

각 벡터를 문자로 치환하면 다음과 같은 식이 됩니다.

3-7

 

이제 각각 문자로 치환된 벡터끼리 내적을 구한 뒤 그림 3-5의 형태로 배치해보겠습니다.

 

3-8

이제 예제 그림 3-6 의 값을 넣어 계산해보겠습니다.

 

3-9

위와 같이 계산할 수 있습니다.

 

벡터의 내적은 항상 스칼라값으로 나오기 때문에, 행렬끼리의 곱셈을 하기 위해선 m X n 형태의 행렬과 n X l 형태의 행렬만 곱셈이 가능합니다. 

 

 

참고: 인공지능을 위한 수학 (이시카와 아키히코)