04.역행렬과 행렬식

 

역행렬이란 어떤 행렬에 곱하였을 때 단위행렬이 되는 행렬입니다.

 

여기서 단위행렬은 아래 식처럼 어떤 행렬이나 벡터에 곱하였을 때 값이 변하지 않고 원래의 값이 그대로 도출되는 행렬입니다.

 

4-1.단위행렬

 

단위행렬은 위 1과 0으로 이루어진 행렬처럼 차원이 달라지더라도 왼쪽 위부터 오른쪽 아래 방향의 대각선상에 위치한 성분들이 1로 이루어져 있고 나머지 성분들은 0으로 이루어져 있습니다.

4-2. 3X3 형태의 단위행렬

다시 역행렬의 개념으로 돌아와서, 역행렬은 역수의 개념과 단위행렬을 이용하여 앞서 정의했듯이 행렬 A에 곱하였을 때 단위행렬 E가 나오는 행렬을 의미합니다.

 

일반적인 자연수 a의 역수를 구하기 위해서는 a에 어떤 수를 곱하면 1이 나오는지를 구하면 됩니다. 1/a, 즉 a^-1 이 되겠죠.

행렬식에서도 마찬가지입니다. 행렬 A의 역행렬을 구하기 위해서는 곱해서 단위행렬 E가 나오는 행렬을 구하면 됩니다.

 

다시 말해, 행렬 A와 역행렬 A^-1을 곱하면 단위행렬 E가 나옵니다.

 

또한 A와 A^-1의 곱이 단위행렬의 형태로 도출되려면 두 행렬은 열과 행의 개수가 같은 정방행렬이어야 합니다.

더불어 정방행렬이더라도 행렬 A의 행렬식이 0인 경우엔 역행렬이 존재하지 않습니다.

 

4-3

위 행렬A의 행렬식을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

4-4. 행렬식

 

 

 

A의 역행렬을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

4-5.역행렬 공식

 

 

위에서 알아본 역행렬과 행렬식을 활용하여 방정식을 쉽게 풀이할 수 있습니다.

다음과 같은 방정식을 가정해봅시다.

 

2x + 3y = 1

x - 2y = 4

 

역행렬과 행렬식을 활용하여 위 방정식을 풀 수 있습니다.

 

위 두 방정식을 행렬로 표현하면 다음과 같습니다.

4-6.

행렬 X(x, y) 의 값을 구하기 위해 우리는 행렬 X 앞에 곱해진 행렬 A의 역행렬을 양 변에 곱해줄 수 있습니다.

행렬 A의 역행렬은 위 역행렬 공식을 사용해 다음과 같이 구할 수 있습니다.

4-7

이제 양 변에 위 행렬 A의 역행렬을 곱해줍시다.

 

4-8

좌변에 있던 행렬 A는 역행렬 A^-1을 곱해줌으로써 사라지고 행렬 X만 남게 됩니다.

 

우변도 풀어보겠습니다.

 

4-9

따라서 x,y는 각각 2,-1이 됩니다.

 

 

참고: 인공지능을 위한 수학 (이시카와 아키히코), 머신러닝을 위한 수학 with 파이썬,R (이원상)